Những Bất đẳng thức thường gặp


Những kiến thức thường gặp (a+b)2 ( 4ab
Bất đẳng thức hay dùng cho a+b ( 0 ( n , n là số tự nhiên
Dấu bằng xảy ra khi a= b với n chẵn, a2 = b2 nếu n lẻ
giải phương trình: Giải phương trình (x+1)6+ (x + 6 = 18- 8
9 - 4x = -

Bài 1
Chứng minh với a, b, c dương.
Giải: a4 + b4 ( 2a2b2 ( a4 + b4 + c4 ( a2b2 + b2c2 + c2a2
a2b2 + b2c2 ( 2ab2c ( a2b2 + b2c2 + c2a2 ( abc(a + b + c)
a4 + b4 + c4 ( abc(a + b + c) , chia abc (
Bài 2
Chứng minh: + 1
Với a, b, c > 0

Giải: a+b)(a+c

Cộng ba vế lại có (đpcm)
Bài 3
Cho a, b, c là ba số dương và a + b + c. Chứng minh:
a + b + c ( 3abc
Giải: Từ a + b + c ( ab + bc + ca = abc(a+b+c)
a2 + b2 + c2 ( ab + bc + ca ( a2 + b2 + c2+ 2(ab + bc + ca) ( 3(ab + bc + ca)
(a+b+c)2 ( 3(ab + bc + ca) = 3abc(a+b+c) ( a + b + c ( 3abc
Bài 4
Chứng minh bất đẳng thức:
với a, b, c là các số dương và a2 + b2 + c2 = 6.
Giải: Sử dụng
a2 + b2 + c2 ( ab + bc + ca dấu bằng khi a = b = c ( 1 dấu bằng khi a = b = c =
Bài 5
Gọi a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh a3 + b3 + 3abc > c3
Giải: a+b> c và a2 - ab + b2 > 0, a3 + b3 + 3abc = (a+b)(a2-ab+b2) + 3abc >
> c(a2-ab+b2) + 3abc = c(a+b)2 > c3
Bài 6
Cho a, b, c là ba số dương và có tổng bằng 3.
Chứng minh ab + bc + ca
Giải: a2 +b2+c2 +2(ab+bc+ca) = 9 ( ab+bc+ca =
Thay vào ta cần chứng minh: a2 +b2+c2 + 29
a2 + 2a2 + + 33a
Cộng các vế ta có (đpcm)
Bài 7
Cho a, b là các số thực thoả mãn a2 + b3 ( a3 + b4. Chứng minh:
a3 + b3 ( 2
Giải:
Cách 1: Trước hết chứng minh a + b2 ( a2 + b3
Giả sử a + b2 < a2 + b3 ( 2(a2 + b3) > a + b2+ a3 + b4 ( 2(a2 + b3) vô lý
a + b2 ( a2 + b3( a3 + b4 ( 2(a + b2) ( a2 + b3 + a3 + b4
(1+a2 ) + (1+b4) ( 2(a + b2) ( a2 + b3 + a3 + b4 ( a3 + b3 ( 2
Cách 2: Bằng phương pháp phản chứng . Giả sử a3 + b3 > 2. Chứng minh:
a2 + b3 < a3 + b4
Từ a2 + b2 a3+b3
a2 - a3 < b3- b2 , nhưng 0 ( b2(b - 1)2 ( b3 - b2 ( b4 - b3 ( a2- a3 < b4 - b3
( a2 + b3 < a3 + b4.
Bài 8
Cho a, b, c là các số thực đặt M = a + b + c + 2
Chứng minh M ( max{3a, 3b, 3c} và một trong 3 số:
bằng tổng hai số kia.
Giải: 3(